Представьте себе Европу времен Возрождения — лоскутное одеяло, где в каждом «кусочке» не только своя власть, но и система мер и весов. И чаще всего в одной единице было не 10 или 100 более мелких, а, например, 12 или 60. Согласитесь, что делить и умножать на 12 и 60 сложнее, чем на 10?
Именно из-за простоты вычислений с круглыми числами — такими, как 10 или даже 100 000 — человечество, как считают ученые, смогло добиться тех успехов в науке и технике, которые мы имеем сейчас. Точнее — благодаря введению десятичных дробей и, что так же важно, простого формата их записи. Но кого благодарить за их появление, не до конца понятно.
Установление «отцовства»
Дело в том, что ученые изобретали десятичные дроби и разные способы их записи несколько раз в разное время и в разных частях мира независимо друг от друга. В Китае их использовали с древности и на протяжении многих веков. Арабские мудрецы разных поколений изобретали заново или заимствовали друг у друга, но долго не могли ввести в обиход.
В Европе, как считалось до недавнего времени, применять десятичные дроби начал фламандский математик и инженер Симон Стевин. Отдельные прецеденты были и до него, но их ученые относят к случайному опыту.
Фрагмент из книги «Десятая» Симона Стевина
В 1585 году Стевин опубликовал книги «Десятая» и «Арифметика», после которых десятичные дроби стали использовать по всей Европе. Однако, запись чисел была достаточно сложной. Например, число 8,937 выглядело как 8⓪9①3②7③, где ⓪ указывало на окончание целой части, если она была. А число 0,3759 – 3①7②5③9④.
Возможно, будущий великий шотландский математик Джон Непер во время путешествия по Европе, которое предпринял в юности, познакомился со Стевином. А может быть, он позднее ознакомился с его книгой. В любом случае, именно благодаря ему и изобретенным им логарифмам, которые неизмеримо облегчили сложные математические вычисления в астрономии, навигации и архитектуре, в начале XVII века в обиход вошел новый формат записи десятичных дробей — с точкой. В России и некоторых других странах используется запятая, но принцип записи одинаковый.
Казалось бы логичным, если бы и автором этого знака, называемого десятичной точкой или десятичной запятой, был Непер. Но нет, исследователям, занимающимся историей математик, удалось проследить его заимствование — предположительно, у немецкого математика Христофора Клавиуса.
В его гигантском — 900 страниц! — труде по астрономии «Astrolabium» 1593 года приводится большая таблица синусов дуг на каждую минуту от 0° до 90°. И вот в ней как раз десятичные дроби записаны с запятой: Клавиус оправдывает этот метод перед своими читателями, приравнивая 45,7 к «457 десятым». Соответственно, ученый точно использовал разделитель в качестве десятичного и умел производить с ним арифметические действия.
Но и тут все не так просто: таблица вычислений в «Astrolabium» — единственное место, где Клавиус использует такой формат записи. А, например, в написанной позднее «Алгебре» снова прибегает к обычным дробям, хотя использование десятичных было бы намного эффективнее. Десятичные дроби не фигурируют даже в его собственных опубликованных тригонометрических таблицах. А ведь если бы он был изобретателем, то наверняка пользовался бы своим открытием?
Купец в астрономии
Историк математики из Университета Тринити-Вестерн (Канада) Глен Ван Браммелен, кажется, нашел недостающее звено в этой истории. Его открытие опубликовано в журнале Historia Mathematica, о нем также сообщает журнал Nature.
Во время преподавания в математическом лагере для школьников Ван Браммелен вместе с коллегой пытался перевести сложный фрагмент из трактата «Tabulae primi mobilis B», написанного итальянцем Джованни Бьянкини в 1440-х годах. Им попался отрывок, в котором Бьянкини вводит число «с точкой посередине» — 10.4 — и показывает, как его умножить на 8.
«Я понял, что он пользуется этим обозначением так же, как и мы, и умеет производить вычисления с такими числами. Я помню, как бегал взад и вперед по коридорам общежития со своим компьютером, пытаясь найти кого-нибудь, кто не спит, и кричал: «Посмотрите, этот парень решает примеры с десятичными дробями в 1440-х годах!», — говорит Ван Бруммелен.
То есть, десятичная дробь с точкой найдена в трудах, которые опубликованы на 150 лет раньше, чем ученые датировали ее изобретение. Кажется, мы нашли первооткрывателя? Но кем был этот гениальный Бьянкини?
Главным отличием последнего от современников-астрономов было то, что изначально он не был ученым и не учился тому, что знали они. Молодой Джованни был венецианским купцом — и обучался именно для этой профессии. Он должен был считать деньги, грузы и полученные в результате своей деятельности прибыль и издержки. Вероятно, он прошел обучение в одной из школ д’Аббако, которая обеспечивала необходимую подготовку по таким предметам, как коммерческая арифметика и алгебра. То есть, его учили прикладному использованию математики: быстро, точно и с минимумом усилий.
Первые десятичные дроби Европы
Где-то в 1430-х годах Бьянкини, которому тогда было менее 30 лет, взяли на должность управляющего поместьем семьи д’Эсте — правителей итальянского герцогства Феррара. Вероятно, для удовлетворения астрологических потребностей двора молодой управляющий с недюжинными математическими способностями начинает заниматься астрономией. Во всяком случае, в этой сфере написаны все его работы между 1440 и 1460 годами.
Измерительный прибор Бьянкини
Однако, имеется и одно произведение на другую тему — трактат об определении высот и расстояний между земными объектами «Compositio Instrumenti». Для своих расчетов Бьянкини изобретает эквивалент метрической системы, где единица длины делится на 10, как мы привыкли сейчас. Он даже конструирует прибор, который поможет делать вычисления. И появляются такие числа: «.746» — то есть, 0,746. Хотя бывают и другие типы записи. «.92909» мы бы сейчас записали как 92,909. Однако, с учетом контекста и комментариев все числа вполне понятны.
Но что, если Бьянкини, как и другие ученые, у которых десятичные дроби появились раньше Стевина, просто случайно нащупал нужный формат или же его работа, как и у них, не имела последователей?
Ван Бруммелен уверен, что это не так. Во-первых, в трактате «Flores Almagesti», написанном через несколько лет после «Compositio Instrumenti», первая глава посвящена арифметике, а вторая глава — алгебре. Это совсем не типично для таких трудов в области астрономии. Более того, они очень похожи на учебники школы д’Аббако, которая обучала будущих торговцев.
«Можно было бы усомниться в актуальности главы, посвященной арифметике, для современных Бьянкини астрономов, которые уже были опытными счетоводами. Но астрономы в своих расчетах использовали арифметику, основанную на 60. А учебники д’Аббако были основаны на десятичной системе счисления. Бьянкини был первым, кто систематически преобразовал математическую астрономию в десятичную систему. Астрономам, рассматривающим возможность применения методов Бьянкини, необходимо было с нуля пройти обучение другой арифметической практике», — поясняет свою позицию ученый.
После «Flores Almagesti» все работы Бьянкини основаны на десятичной «купеческой» системе. В том числе, и трактат «Tabulae primi mobilis B», приведший Ван Бруммелена к мнению о том, что именно Бьянкини открыл Европе десятичные дроби.
Ключевой частью «Tabulae primi mobilis B» является серия тригонометрических таблиц, включая таблицу синусов. Астрономы того времени использовали сферическую тригонометрию для расчета положений небесных тел на поверхности сферы. Бьянкини по-прежнему делит углы на минуты и секунды, но дает синусы, которые астрономы интерпретировали как расстояния, в десятичных дробях с десятыми, сотыми и тысячными долями. Он вводит свою десятичную точку, когда указывает сумму, которую пользователь должен добавить или вычесть, чтобы вычислить значения, которые попадают между одной записью и следующей.
Как поясняет историк математики из Лондонского университета (Великобритания) Сара Харт, преимущество десятичной системы в том, что она позволяет вычислять дробные числа так же легко, как и целые. Нет необходимости «во всей этой чепухе, связанной с обыкновенными дробями», ведь с десятичными дробями и их точкой можно проводить те же самые математические действия почти тем же образом, что и с целыми числами.
И тут мы возвращаемся к таблицам в «Astrolabium» Христофора Клавиуса. Ведь он пользовался десятичными дробями с точкой именно в таком же пособии и именно в тех же целях — но на 150 лет позднее. Учитывая, что больше нигде и никогда Клавиус этого не применял, логично считать, что он позаимствовал метод у предшественника.
Более того, обнаруживается и еще один последователь купца-астронома — это немецкий ученый Региомонтан. Десятичная система упоминается в его труде «Tabulae Directum», который, как сейчас понятно, вдохновлен «Tabulae primi mobilis B» Бьянкини.
«Учитывая тексты Бьянкини и Региомонтануса, введение Клавиусом десятичной точки в таблице синусов и тот факт, что он никогда больше ее не использовал, объясняется просто: у него был доступ к аналогичной таблице Бьянкини (или того, кто сам заимствовал у Бьянкини), и Клавиус скопировал структуру этой таблицы в своей работе. Он признал полезность десятичной дробной записи в числовой таблице; но это была не его идея, и, вероятно, он сам не приложил значительных усилий для более полного изучения использования этих обозначений. В результате происхождение десятичных дробных обозначений и десятичной точки в Европе до сих пор оставалось неясным», — делает вывод Ван Бруммелен.
Другие новости по теме...
